O guia definitivo dos conjuntos

A Mochileira Universitária traz para você...

• Conjuntos: o que é?

É a coleção de elementos.

Conteúdos:

Teoria dos conjuntos;

Conjuntos numéricos;

Operações com conjuntos;

Diagrama de Venn.

Georg Cantor: elaborou a Teoria dos conjuntos

Georg Cantor

Nasceu: 03.03.1845 - São Petersburgo; Rússia;

Morreu: 06.01.1918 - Halle; Alemanha;

Profissão: matemático.

História dos conjuntos

Lançado: Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais - 1874;

Números transcedentais são construídos - 1844;

"Fundamentos gerais de uma teoria de agregados" - 1883;

Teorema de Cantor - 1891.

"Eu chamo isso de infinito próprio"

- Georg Cantor

Teoria dos conjuntos

• O que é?

É a teoria capaz de agregar elementos.

A: conjunto;

a: elemento;

A = {a,e}: representação;
∈: pertence;
∉: não pertence;
⊂: está contido;
⊄: não está contido;
⊃: contém;
⊅: não contém;
/: tal que;
⇒: implica que;
⇔: se somente se;
∃: existe;
∄: não existe;
∀: para todo;

Ø: conjunto vazio;

]: aberto - não inclui;
[: fechado - inclui.

Conjuntos numéricos

• O que é? 

Reúnem diversos conjuntos cujo elementos são números.

N: naturais;                                                                       
N*: naturais não-nulos;                                               
Np: naturais pares;                                                 
Ni: naturais ímpares;                                            
P: primos.                                               

;inteiros :Z
;inteiros não-nulos :*Z

;inteiros não-negativos :+Z
;inteiros não positivos :-Z
;inteiros estritamente positivos :*+Z
.inteiros estritamente negativos :*-Z

Q: racionais;                                            
Q*: racionais não-nulos;
Q+: racionais não-negativos;
Q-: racionais não-positivos;
Q*+: racionais estritamente positivos;
Q*-: racionais estritamente negativos.

.irracionais :I

R: reais;
R*: reais não-nulos;
R+: reais não-negativos;
R-: reais não-positivos;
R*+: reais estritamente positivos;
R*-: reais estritamente negativos.

Operações com conjuntos

• O que é?

Operações com os elementos que formam a coleção.

U: união de conjuntos

ꓵ: intersecção de conjuntos.

-: diferença de conjuntos.

Ac ou Cua ou Ã: conjunto complementar.

B ⊂ A; A - B = Bc

A U B = B U A;

A ꓵ B = B ꓵ A;

A U (B U C) = (A U B) U (A U C);

A ꓵ (B ꓵ C) = (A ꓵ B) ꓵ (A ꓵ C);

⇔ A ⊂ B: A U B = B ⇔ A ꓵ B = A;

⇔ A ⊂ B: (A U C) ⊂ (B U C);

(A ꓵ C) ⊂ (B ꓵ C).

Leis de Morgan:

1ª. (A U B)c = Ac ꓵ Bc;

2ª. (A ꓵ B)c = Ac U Bc;

Diagrama de Venn

• O que é?

É a forma gráfica que representa os elementos de um conjunto.

U: universo

Intervalos

Aberto

]a, b[ = {x ∈ R: a < x < b}

]a, +∞[ = {x ∈ R: x > a}

]-∞, a[ = {x ∈ R: x < a}

Fechado

[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}

Semiaberto/Semifechado

[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x < b}

]a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}

]a, +∞[ = {x ∈ R: x ≥ a}

]-∞, a[ = {x ∈ R: x ≤ a}

[a, b] U [c, d] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b ou c ≤ x ≤ d}

e

[a, b] ꓵ [c, d] = Ø

Coordenadas cartesianas

y: ordenadas

x: abscisas

(x, y):coordenada ou par ordenado